EJERCITA.

REGLAS

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q

${\displaystyle P(Q)=1-P(E)}$

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

Regla de la adición:

La regla de la adición establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Por un lado, si , es decir que son mutuamente excluyentes, entonces:

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$

Por otro lado, si , es decir que no son mutuamente excluyentes, entonces

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

Siendo: probabilidad de ocurrencia del evento A, probabilidad de ocurrencia del evento B, y  probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Otra forma de verlo, sería expresar la probabilidad de sucesos mutuamente no excluyentes mediante el sumatorio de las probabilidades de un evento determinado en función de otros eventos:

${\displaystyle P(x)=\sum _{y}{P(x,y)}=\sum _{y}{P(y)P(x|y)}}$

Regla de la multiplicación:

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$, si A y B son independientes.

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B|A)}$, si A y B son dependientes.

siendo ${\displaystyle P(B|A)}$ la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A.

Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?

Solución:

Sea los eventos

${\displaystyle A_{1}=}$ primer objeto defectuoso, ${\displaystyle A_{2}=}$segundo objeto defectuoso

entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ que es la intersección entre los eventos ${\displaystyle A_{1}}$ y ${\displaystyle A_{2}}$. De la información dada se tiene que:

${\displaystyle P(A_{1})={\frac {20}{100}}}$; ${\displaystyle P(A_{2}|A_{1})={\frac {19}{99}}}$

así probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})={\frac {20}{100}}\cdot {\frac {19}{99}}={\frac {19}{495}}\simeq 0.038}$

Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es

${\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})={\frac {20}{100}}\cdot {\frac {19}{99}}{\frac {18}{98}}={\frac {19}{2695}}\simeq 0.007}$

Regla de Laplace

La Regla de Laplace establece que:

• La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
• La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, ${\displaystyle P(A)=1}$.

Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.

• La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:

${\displaystyle P(A)={\frac {\text{Nº de casos favorables}}{\text{ Nº de resultados posibles}}}}$

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

Distribución binomial

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, que se suelen designar como éxito y fracaso.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.

Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bernoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). 

Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:

${\displaystyle P(x=m)={n \choose m}p^{m}(1-p)^{n-m}}$

donde ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$ es el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.